Metodos Numericos: UNIDAD 2

UNIDAD II

ÍNDICE

1.- INTRODUCCIÓN

2.-SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES

3. MÉTODOS CERRADOS
3.1 Método Gráfico
3.2 Método de Bisección
3.3 Método de falsa posición

4.- MÉTODOS ABIERTOS

4.1 Interacción simple del punto fijo

4.2 Método de Newton Rhapson

4.3 Método de la secante

5.-BIBLIOGRAFÍA

INTRODUCCIÓN

En esta unida veremos los diferentes tipos de solución de ecuaciones no lineales y las maneras de resolverse a partir de la aplicación de sistemas que tiene que ver con los métodos numéricos asi como su clasificación y algunos ejemplos vistos en la clase.

Esto con el objetivo principal del análisis numérico para encontrar soluciones “aproximadas” a problemas complejos utilizando sólo las operaciones que se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen una solucion aproximada para este tipo de ecuaciones.

DIFERENTES METODOS DE SOLUCION DE ECUACIONES NO LINEALES

ACTIVIDAD 1: Investigar los diferentes métodos de solución de ecuaciones no Lineales

Los métodos para la búsqueda de raíces de una función generalmente se clasifican en:

· Métodos cerrados. Se parte de un intervalo en el que se sabe que hay al menos una raíz y convergen siempre. Método de la Bisección.

· Métodos abiertos. Se parte de una aproximación inicial y tienen un cierto radio de convergencia. Método del punto fijo, Método de Newton, Método de la secante.

Método de Bisección

Algoritmo del método de Bisección

El método de Bisección para la resolución de la ecuación f(x) = 0 se basa en el Teorema de Bolzano que nos asegura la existencia de, al menos, una raíz de una función f(x) en un cierto intervalo [a, b], bajo ciertas condiciones.

Teorema de Bolzano

Sea f: [a, b] → R una función continua en [a, b] tal que f(a)f(b) < 0. Entonces existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.

Supongamos que f(x) es continua y cambia de signo en los extremos de [a, b]. Basándonos en el anterior teorema, podemos aproximar una solución de la ecuación f(x) = 0 dividiendo el intervalo inicial en dos su intervalos iguales y eligiendo aquel en el que f(x) cambia de signo. Después se repite el proceso hasta que se verifique algún criterio de parada.

1.4 Algoritmo del Método de Bisección

1. a0 = a, b0 = b

2. Para n = 0, 1,. . ., hacer:

· mn =1 2(an + bn)

· Si f(an)f(mn) < 0, tomar an+1 = an, bn+1 = mn; en caso contrario, tomar an+1 = mn, bn+1 = bn.

Método de Regula-Falsi

Algoritmo del Método de Regula-Falsi

Se trata de realizar un refinamiento del Método de de Bisección, eligiendo la aproximación m a distancias de a y b proporcionales a f(a) y f(b).

La ecuación de la recta que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) es

de donde se tiene que el corte con el eje OX es, haciendo x = 0 y despejando

y, el valor

Algoritmo del Método de Regula-Fals

Método de la secante

Se trata de un método iterativo en el que, en cada paso, se calcula una aproximación de la solución en lugar de un intervalo que la contiene.

Se parte de x0 = a y x1 = b y se calcula, iterativamente para cada n ≥ 1, la intersección de la secante que une los puntos (xn−1, f(xn−1) y (xn, f(xn)) con el eje de abscisa, obteniéndose la abscisa

Algoritmo del Método de la Secante

Ejemplo: Calculemos mediante 5 pasos del método de la secante una aproximación de la solución del problema de la oscilación amortiguada de una estructura.

Se trataba de calcular la solución de la ecuación

f(t) = 10 e t

2 cos 2t − 4 = 0.

Tomando x0 = 0 y x1 = 1, se obtiene la siguiente sucesión de aproximaciones:

x2 = 0.479078

x3 = 0.517905

x4 = 0.513640

x5 = 0.513652,

Con lo cual podemos afirmar que una aproximación con cuatro decimales exactas de la solución es 0.5126.

Método de Newton-Raphson

Se trata de llevar el límite el método de la secante y, por tanto, en cada

Iteración n, considerar la recta tangente a f(x) en (xn, f(xn)) y tomar como siguiente aproximación xn+1 la intersección de dicha tangente con el eje de abscisas. Por tanto, teniendo en cuenta que la ecuación de la recta tangente la gráfica de f(x) en el punto (xn, f(xn)) es y − f(xn) = f 0 (xn)(x − xn).

Algoritmo del Método de Newton-Raphso

Ejemplos: A continuación presentamos la solución aproximada de algunas ecuaciones con el método:

Métodos Iterativos

Se trata de transformar la ecuación f(x) = 0 (cálculo de una raíz de la función f(x)) en una ecuación del tipo x = g(x) (cálculo de un punto fijo de la función g(x)) de forma que sean equivalentes, es decir, tengan la misma solución.

Algoritmo de los métodos iterativos

Los métodos iterativos se basan en el cálculo de un punto fijo para una cierta función g(x). El siguiente resultado determina condiciones suficientes para la existencia de un punto fijo para g(x).