UNIDAD 3

UNIDAD III

ÍNDICE

1.-Matrices

2.-Vectores

3.-Sistemas equivalentes

4.-Resolución de sistemas de ecuaciones

5.-Método de Gauss

6.-Método de Cramer

7.-Descomposición de LU

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1.-MATRICES

1.1-SUMA DE MATRICES

Para sumar dos matrices A y B han de ser de las mismas dimensiones; si esto es cierto, la suma es una matriz E de iguales dimensiones que A y que B, y sus elementos se obtienen sumando los elementos correspondientes de A y B.

1.2 PRODUCTO DE MATRICES POR UN ESCALAR

 Así como se ha definido la suma de matrices, también se puede formar el producto de un número real Α y una matriz A. El resultado, denotado por Α A, es la matriz cuyos elementos son los componentes de A multiplicados por Α.

1.3 MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

Dos matrices A y B son conformes en ese orden (primero A y después B ), si a tiene el mismo número de columnas que B  tiene de filas.

2.- VECTORES

2.1 suma de vectores

Analíticamente, se suman las componentes.

El resultado:

Agrupando términos:

2.2 resta de vectores

Ejemplo resta:

2.3 Producto de Vectores

El producto escalar de dos vectores no es otro vector sino un número. Se determina multiplicando las coordenadas de ambos vectores, componente a componente y sumando los resultados.

CLASIFICACIÓN DE UN SISTEMA SEGÚN EL NÚMERO DE SOLUCIONES 

SISTEMAS EQUIVALENTES

Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones.

Transformaciones que convierten un sistema en otro equivalente:

I.- Multiplicar o dividir ambos miembros de una ecuación por un número distinto de cero.

II.- Sumar a una ecuación del sistema otra ecuación del mismo.

III. Eliminar una ecuación que es combinación lineal de otras dos.

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

Resolver un sistema es encontrar todas sus soluciones o decidir que no tiene ninguna.

Métodos de resolución:

 Método de Gauss.

Resolver un sistema es encontrar todas sus soluciones o decidir que no tiene ninguna.

Un sistema equivalente y escalonado, mediante transformaciones adecuadas.

Se pueden dar los siguientes pasos:

I.             Si es necesario reordenar ecuaciones para que a11 sea distinto de cero.

II.     Dividir la primera ecuación por a11 y restar a cada ecuación un múltiplo de la primera para eliminar todos los elementos que quedan por debajo de a11x1.

III.          Repetir los pasos anteriores basados ahora en a22 (y si es necesario en cada aii).

IV.          El proceso termina cuando no quedan más ecuaciones.

 Método de Cramer.

Esta regla establece que cada incógnita de un sistema de ecuaciones lineales algebraicas puede expresarse como una fracción de dos determinantes con denominador d y con el numerador obtenido a partir de d, al reemplazar la columna de coeficientes de la incógnita en cuestión por las constantes b₁, …b₂,…, b_n. por ejemplo, x₁ se calcula como:

Ejemplo:

DESCOMPOSICIÓN LU

Recordemos, que una matriz regular a, admite una factorización de la forma

Pa=lu

Donde p es una matriz de permutación de filas, l es una matriz triangular inferior y u es una matriz triangular superior. Y sea el sistema de ecuaciones [a][x]=[b] aunque la eliminación gauss representa una forma satisfactoria para resolver tales sistemas,

Resulta ineficiente cuando deben resolverse ecuaciones con los mismos coeficientes [a], pero con diferentes constantes del lado derecho (las b). Los métodos de descomposición lu separan el tiempo usado en las eliminaciones para la matriz [a] de las manipulaciones en el lado derecho {b}. Una vez que [a] se ha “descompuesto”, los múltiples vectores del lado derecho {b} se pueden evaluar de manera eficiente.